ALGEBRA

Los números enteros: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación


ELCONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Enlace de Fascículo de números enteros en Word:
Blog de operaciones con números enteros, enlaces de vídeos en YouTube:


1)  REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS EN LA RECTA NUMÉRICA, COMPARACIÓN Y ORDEN
REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS EN LA RECTA NUMÉRICA
  A todo número entero le corresponde un punto en la recta numérica entera, recíprocamente, a todo punto de la recta numérica entera le corresponde un número entero
     La recta numérica para los números enteros:

COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
LEY DE TRICOTOMIA
Dados dos números enteros a y b se cumple solamente una de las siguientes afirmaciones: 
Si dos números se encuentran ubicados en la recta numérica, es mayor el número que se encuentra a la derecha y es menor el número que se encuentra a la izquierda.

ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
     Al ordenar números enteros en forma ascendente o creciente se realiza del menor número  al mayor
     Al ordenar números enteros en forma descendente o decreciente se realiza del mayor número  al menor.


Ubica los siguientes números enteros en la recta numérica:

Escribe en los recuadros > ; < ´0 = según corresponde:

  
3)
- 5

4

4)
0

7

5)
- 3

0

6)
-11

- 9



















7)
- 47

- 11

8)
0

- 6

9)
- 7

-  5

10)
27

38

















11) Escribe  >;<  ó  =  en los recuadros, relacionando los números de la columna con los números de la fila:
4
-       21
0
-       17
-       7




3




15




-       32




0




Ordena en forma ascendente los siguientes números enteros:
12) - 14; 0 : - 5 ; 6 ; -7 
13) - 15 ; 24 ; -42 ; 52 ; - 72 
Ordena en forma descendente los siguientes números enteros:
14) - 12 ; 62 ; - 76 ; 0 ; -22
15) 57 ; - 86 ; 29 ; -32 ; 0 ; -99 

2)  ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS - Vídeo

     ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS


       AXIOMAS Y TEOREMAS DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

A)    AXIOMA DE CLAUSURA
Al sumar dos números enteros se obtiene como suma otro número entero

B)    AXIOMA DE CONMUTATIVIDAD
Si cambiamos el orden de los sumandos la suma no se altera
a + b = b + a
C)    AXIOMA DE ASOCIATIVIDAD
Si asociamos los sumandos de diferente forma la suma no se altera
a + (b + c ) = ( a + b ) + c

D)    AXIOMA DE ELEMENTO NEUTRO O IDENTIDAD ADITIVA
El elemento neutro aditivo es el número “0”, es decir, si a cualquier número entero  le sumamos cero “0” la suma es el mismo número entero
a + 0 = 0 + a = a
E)    AXIOMA DE INVERSO ADITIVO
Si a un número entero le sumamos su inverso el resultado es cero.
a + ( - a) = 0
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS


REGLAS PARA LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS: - Vídeo

REGLA Nro. 1
Si los números tienen igual signo, se suman y el resultado lleva el signo de ambos
Ejemplo:
1) + 23 + 15 = 38
2) - 34 - 54 = - 88

REGLA Nro. 2
Si los números tienen signo diferente, se restan y el resultado lleva el signo del número mayor
1) + 23 - 71 = -48 
2) - 56 + 23 = - 33 



Escribe las partes o elementos de las operaciones en las siguientes preguntas:
1) + 57 + 39 = 
    Sumandos: ……………………….
    Suma: …………………………….

2) + 41 + 65 = 
    Sumandos: ……………………….
    Suma: …………………………….

3) + 74 - 27 = 
    Sustraendo: ………………………….
    Minuendo: ……………………………
    Diferencia: …………………………...

4) + 78 - 57 = 
   
    Minuendo: ……………………………
    Diferencia: …………………………...
    Sustraendo: ………………………….

Resuelve:
5) + 23 + 18 = 
6) - 42 - 74 = 
7) + 95 - 67 = 
8) - 68 + 84 = 
Resuelve:

9) + 12 – 31 + 87 – 24 + 9 + 1

10) – 67 + 43 – 97 + 23 – 12 + 3

11) [ - ( 9 – 12) – ( -23 + 34) ] – ( 63 – 21 )

12) [ - ( 35 + 54 – 19) – ( + 56 - 99) ] + ( 45 – 76)
13) Completa los casilleros vacíos y dar como respuesta la suma de dichos casilleros.


          








14) Completa los casilleros vacíos en los siguientes ejercicios.
3)     MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS - Vídeo
       Al multiplicar números enteros, primero se multiplican los signos luego los números
 - 12 x + 5 = - 60

       LEY DE SIGNOS PARA LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
            

    AXIOMAS Y TEOREMAS DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

A)    AXIOMA DE CLAUSURA
Si multiplicamos dos números enteros cualesquiera, el producto o resultado es otro número entero
Si: a  Î Z y b Î Z ® (a . b) Î Z
B)    AXIOMA DE CONMUTATIVIDAD
Si cambiamos el orden de los factores el producto es el mismo
a . b = b . a
C)    AXIOMA DE ASOCIATIVIDAD
Si asociamos de modo diferente los factores el producto es el mismo
a (b . c) = (a . b) c
D)    AXIOMA DE ELEMENTO NEUTRO
El número uno “1” es el elemento neutro multiplicativo, es decir si multiplicamos cualquier número entero por uno “1”, el resultado o producto siempre es el mismo número entero
a . 1 = 1 . a = a
E)    TEOREMA DE MONOTONIA
Si a ambos miembros de una igualdad multiplicamos por un mismo número la igualdad se mantiene
Si: a = b ® a . c = b . c
F)    TEOREMA DEL  ELEMENTO ABSORVENTE
Si multiplicamos un número por cero “0” el resultado o producto siempre es cero “0”
a . 0 = 0 . a = 0
G)    AXIOMA DE DISTRIBUTIVIDAD DE LA MULTIPLICACIÓN CON RESPECTO A LA ADICIÓN
a (b + c) = ab + ac
H)    AXIOMA DE DISTRIBUTIVIDAD DE LA MULTIPLICACIÓN CON RESPECTO A LA SUSTRACCIÓN
a (b - c) = ab - ac

Resuelve:

1) (+ 12) (- 2) (- 4) (+ 10)
2) (- 4) ( -2) (- 6) (+3) 
3) Completa la tabla de acuerdo a la operación y flecha:

4)     DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS - Vídeo
        En una división exacta, para verificar si la operación que realizamos es correcta se multiplica el cociente por el divisor y el resultado debe ser igual al dividendo
        En una división inexacta, para verificar si la operación que realizamos es correcta,  multiplicamos el cociente por el divisor y le sumamos el residuo, este resultado debe ser igual al dividendo
        Al dividir números enteros, primero se operan los signos y luego los números

LEY DE SIGNOS PARA LA DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

        
Completa la tabla con la operación correspondiente, si la división es inexacta marca con una “x”

5)    OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
       Al resolver operaciones combinadas  de adición, sustracción, multiplicación y división de números enteros, primero se resuelve la división, luego la multiplicación, en la adición y sustracción no existe orden.
       Cuando hay varias divisiones sucesivas y no existen signos de agrupación, las divisiones se resuelven en el orden en que aparecen, es decir, de izquierda a derecha.

6) PROBLEMAS DE ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
    Vídeo de problemas de adición y sustracción
Resuelve los problemas aplicando el método de Polya:
1.     Jesús tenía 20 años cuando nació su hija Betty.  Actualmente Betty tiene 20 años.  ¿Cuánto suman las edades actuales de Jesús y Betty?
2.     La suma de 3 números enteros consecutivos es 90.  Hallar el número intermedio.
3.     Pepe tiene 12 caramelos y Toto tiene 8 caramelos más que Pepe y Juan Carlos tiene 5 caramelos más que Toto. Hallar cuántos caramelos tienen entre los 3 juntos.
4.     Si al minuendo de una sustracción le sumamos 230 y al sustraendo le sumamos 90.  ¿En cuánto varía la diferencia?
a) Aumenta 320    b) Disminuye 320  c) Aumenta 140  d) Disminuye 140 
e) No aumenta ni disminuye
5.     Jorge compra un T.V. en S/. 700 y lo quiere vender ganando S/. 150.  ¿En cuánto debe vender el T.V.?
6.     Albert tiene 15 años y Luis tiene el triple de su edad.  ¿Cuánto suman sus edades?
7.     Un padre de 44 años de edad tiene 3 hijos; uno de 16, otro de 14 y el tercero de 12 años, se desea saber el número de años que ha transcurrido desde que la edad del padre fue el doble de la suma de las edades de sus hijos.
8.    Un equipo de futbol ha ganado sus tres últimos partidos por 4 goles de diferencia. Hace tres fechas su diferencia de goles era – 13. ¿Cuánto es su actual diferencia de goles?

7) POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS - Vídeo


  

El exponente nos indica cuantas veces se multiplica la base
POTENCIAS NOTABLES:
A) POTENCIAS DE CERO:
     Todas las potencias de cero son iguales a cero.
     02 = 03 = 0n = 0 , donde n ≠ 0
     0no está definido
B) POTENCIA DE UNO:
       El número uno elevado a cualquier exponente es igual a 1
       12 = 13 = 1n = 1
C) POTENCIA DE EXPONENTE UNO:
     Cualquier número elevado al exponente 1 es igual al mismo número
     a1 = a    ;     Ejemplo: 21 = 2
D) POTENCIAS DE UN NÚMERO NEGATIVO:
     - CUANDO EL EXPONENTE ES IMPAR
       Si un número negativo es elevado a un exponente impar la potencia es negativa
       Ejemplo:
       (- 3 )3 = (- 3) (- 3) (- 3) = - 27
      
     - CUANDO EL EXPONENTE ES PAR
       Si un número negativo es elevado a un exponente par la potencia es positiva
       Ejemplo:
       ( - 2 )4 = (- 2) (- 2) (- 2) (- 2) = +16

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

A) PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE:
am. an = am+n
     
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

A) PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE:

am. an = am+n
     Ejemplo:

B) COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE:

Ejemplo:

  
     C) POTENCIA DE UN PRODUCTO:

Ejemplo:

     D) POTENCIA DE UN COCIENTE:

Ejemplo:

     E) POTENCIA DE POTENCIA:

8) RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS - Vídeo


PROPÌEDADES DE LA POTENCIACIÓN
A)   RAÍZ DE UN PRODUCTO






B)   RAÍZ DE UN COCIENTE


C)   RAÍZ DE UNA POTENCIA















D)   RAÍZ DE UNA RAÍZ


Resuelve aplicando las propiedades de la radicación: