LOS NÚMEROS ENTEROS, ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN, POTENCIACIÓN, RADICACIÓN Y PROBLEMAS

LOS NÚMEROS ENTEROS: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN, POTENCIACIÓN, RADICACIÓN Y PROBLEMAS


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ELCONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

1)  REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS EN LA RECTA NUMÉRICA, COMPARACIÓN Y ORDEN


     REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS EN LA RECTA NUMÉRICA

A todo número entero le corresponde un punto en la recta numérica entera, recíprocamente, a todo punto de la recta numérica entera le corresponde un número entero

     La recta numérica para los números enteros 






COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

LEY DE TRICOTOMIA

Dados dos números enteros a y b se cumple solamente una de las siguientes afirmaciones:

 a < b ; a > b ; a = b

Si dos números se encuentran ubicados en la recta numérica, es mayor el número que se encuentra a la           derecha y es menor el número que se encuentra a la izquierda.



ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

     Al ordenar números enteros en forma ascendente o creciente se realiza del menor número al mayor
     Al ordenar números enteros en forma descendente o decreciente se realiza del mayor número al menor

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE N° 1

2)  ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

      ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
AXIOMAS Y TEOREMAS DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

A)    AXIOMA DE CLAUSURA
Al sumar dos números enteros se obtiene como suma otro número entero
Si: a  Î Z y b Î Z ® (a + b) Î Z
B)    AXIOMA DE CONMUTATIVIDAD
Si cambiamos el orden de los sumandos la suma no se altera
a + b = b + a
C)    AXIOMA DE ASOCIATIVIDAD
Si asociamos los sumandos de diferente forma la suma no se altera
(a + b) + c = a + (b + c)
D)    AXIOMA DE ELEMENTO NEUTRO O IDENTIDAD ADITIVA
El elemento neutro aditivo es el número “0”, es decir, si a cualquier número entero le sumamos cero “0” la suma es el mismo número entero
a + 0 = 0 + a = a
E)    AXIOMA DE INVERSO ADITIVO
Si a un número entero le sumamos su inverso el resultado es cero.
a + (- a) = 0

 SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
REGLAS PARA LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS:

REGLA Nro. 1
Si los números tienen igual signo, se suman y el resultado lleva el signo de ambos
Ejemplo:
1) + 11 + 18 = + 29
2) – 5 – 8 = –  13

REGLA Nro. 2
Si los números tienen signo diferente, se restan y el resultado lleva el signo del número mayor
1) + 7 – 9 = –  2
2) – 4 + 10 = + 6


ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE N° 2

Escribe las partes o elementos de las operaciones en las siguientes preguntas:
1) + 45 + 92 =
    Sumandos: ……………………….
    Suma: …………………………….

2) + 32 + 67 =
    Sumandos: ……………………….
    Suma: …………………………….

3) + 56 – 73 =
    Sustraendo: ………………………….
    Minuendo: ……………………………
    Diferencia: …………………………...

4) + 28 – 53 =
   
    Minuendo: ……………………………
    Diferencia: …………………………...
    Sustraendo: ………………………….

Resuelve:
5) + 47 + 83
6) + 94 – 65
7) – 32 – 45
8) – 234 + 98
Resuelve:
9) + 12 – 31 + 76 – 11 + 3 – 7
10) – 54 + 84 – 43 + 22 – 79
11) [- (7 – 9) + ( - 4 + 5)] - (23 – 72)
12) [(- 7 + 9) + (3 – 1)] – [- 8 + 3 – (9 – 12)]




3)     MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
       LEY DE SIGNOS PARA LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
AXIOMAS Y TEOREMAS DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

A)    AXIOMA DE CLAUSURA
Si multiplicamos dos números enteros cualesquiera, el producto o resultado es otro número entero
Si: a  Î Z y b Î Z ® (a . b) Î Z

B)    AXIOMA DE CONMUTATIVIDAD
Si cambiamos el orden de los factores el producto es el mismo
a . b = b . a

C)    AXIOMA DE ASOCIATIVIDAD
Si asociamos de modo diferente los factores el producto es el mismo
a (b.c) + c =  (a.b) c

D)    AXIOMA DE ELEMENTO NEUTRO
El número uno “1” es el elemento neutro multiplicativo, es decir si multiplicamos cualquier número entero por uno “1”, el resultado o producto siempre es el mismo número entero
a . 1 = 1 . a = a

E)    TEOREMA DE MONOTONIA
Si a ambos miembros de una igualdad multiplicamos por un mismo número la igualdad se mantiene
Si: a  = b  ® a . c = b . c

F)    TEOREMA DEL ELEMENTO ABSORVENTE
Si multiplicamos un número por cero “0” el resultado o producto siempre es cero “0”
a . 0 = 0 . a = 0


G)   AXIOMA DE DISTRIBUTIVIDAD DE LA MULTIPLICACIÓN CON RESPECTO A LA ADICIÓN
a (b + c) =  ab + ac

H)    AXIOMA DE DISTRIBUTIVIDAD DE LA MULTIPLICACIÓN CON RESPECTO A LA SUSTRACCIÓN
a (b - c) =  ab - ac


ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE N° 3

4)     DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

        En una división exacta, para verificar si la operación que realizamos es correcta se multiplica el cociente por el divisor y el resultado debe ser igual al dividendo
        En una división inexacta, para verificar si la operación que realizamos es correcta, multiplicamos el cociente por el divisor y le sumamos el residuo, este resultado debe ser igual al dividendo
        Al dividir números enteros, primero se operan los signos y luego los números

LEY DE SIGNOS PARA LA DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE N° 4

    
Completa la tabla con la operación correspondiente, si la división es inexacta marca con una “x”
5)    OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
       Al resolver operaciones combinadas de adición, sustracción, multiplicación y división de números enteros, primero se resuelve la división, luego la multiplicación, en la adición y sustracción no existe orden.
       Cuando hay varias divisiones sucesivas y no existen signos de agrupación, las divisiones se resuelven en el orden en que aparecen, es decir, de izquierda a derecha.

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE N° 5

Resuelve:


6) PROBLEMAS DE ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE N° 6


Resuelve los problemas aplicando el método de Polya:
1.     Jesús tenía 20 años cuando nació su hija Betty.  Actualmente Betty tiene 20 años.  ¿Cuánto suman las edades actuales de Jesús y Betty?
2.     La suma de 3 números enteros consecutivos es 90.  Hallar el número intermedio.
3.     Pepe tiene 12 caramelos y Toto tiene 8 caramelos más que Pepe y Juan Carlos tiene 5 caramelos más que Toto. Hallar cuántos caramelos tienen entre los 3 juntos.
4.     Si al minuendo de una sustracción le sumamos 230 y al sustraendo le sumamos 90.  ¿En cuánto varía la diferencia?
a) Aumenta 320    b) Disminuye 320  c) Aumenta 140  d) Disminuye 140 
e) No aumenta ni disminuye
5.     Jorge compra un T.V. en S/. 700 y lo quiere vender ganando S/. 150.  ¿En cuánto debe vender el T.V.?
6.     Albert tiene 15 años y Luis tiene el triple de su edad.  ¿Cuánto suman sus edades?
7.     Un padre de 44 años de edad tiene 3 hijos; uno de 16, otro de 14 y el tercero de 12 años, se desea saber el número de años que ha transcurrido desde que la edad del padre fue el doble de la suma de las edades de sus hijos.
8.    Un equipo de futbol ha ganado sus tres últimos partidos por 4 goles de diferencia. Hace tres fechas su diferencia de goles era – 13. ¿Cuánto es su actual diferencia de goles?

7) POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
El exponente nos indica cuantas veces se multiplica la base

POTENCIAS NOTABLES:

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN


A) PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE:
B) COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE:
     C) POTENCIA DE UN PRODUCTO:

     D) POTENCIA DE UN COCIENTE:

E) POTENCIA DE POTENCIA:

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE N° 7
8) RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS


PROPÌEDADES DE LA POTENCIACIÓN

A)   RAÍZ DE UN PRODUCTO


B)   RAÍZ DE UN COCIENTE


C)   RAÍZ DE UNA POTENCIA

D)   RAÍZ DE UNA RAÍZ


ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE N° 8