ALGEBRA

PROGRESIONES ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA

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PROGRESIÓN ARITMÉTICA: ENÉSIMO TÉRMINO, INTERPOLACIÓN DE TÉRMINOS Y SUMA DE TÉRMINOS

1) Término general o enésimo de una progresión aritmética: https://youtu.be/G7qowiBzds4
2) Interpolación de medios aritméticos: https://youtu.be/DdRt-MFPeJ8
3) Suma de términos de una progresión aritmética: https://youtu.be/VZhJMj3MfqM


1)     PROGRESIÓN ARITMÉTICA:
        CONCEPTO DE SUCESIÖN.- Es una colección de números ordenados, es decir, hay un primer número, un segundo número, un tercer número, etc.  , se tiene un procedimiento o patrón numérico para calcular o encontrar los números de la sucesión.          
        PROGRESIÓN ARITMÉTICA
        Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
      Ejemplo:
1)   2; 5; 8; 11; …
2)   5; 3: 1: -1; -3; …
A) TÉRMINO GENERAL O ENÉSIMO TÉRMINO DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA - (VÍDEO)
El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término restándole la diferencia al término siguiente. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmula del término general de una progresión aritmética.

an = a1 + (n – 1 ) d
       a: Es el n-ésimo término o término que ocupa el lugar “n”.
       a:  Es el primer término.
       n :   Es el número de términos de la P.A.
       d :   Es la diferencia.
      Ejemplo:
      Calcula el término que ocupa el lugar 17 en la progresión aritmética:
      3; 7; 11; 15; …
Solución: 
a1 = 3                     a17 = ?             n = 17           d = a2 – a= 7- 3 = 4         d = 4

Reemplazando en la fórmula:
a17 = 3 + (17 – 1) 4
a17 = 67

 B) INTERPOLACIÓN DE MEDIOS ARITMÉTICOS - (VÍDEO)
      Interpolar términos entre dos extremos a y b significa formar una progresión aritmética donde el primer término es a y el último b.
Ejemplo:
      Interpolar 3 términos aritméticos entre 2 y 14
Solución:
      d = ?           b = 14         a = 2           n = 3
      Aplicando la fórmula:



Los términos a interpolar son: a= 5; a= 8 y a = 11
Ahora tenemos la progresión aritmética pedida:
2; 5; 8; 11; 14

 C) SUMA DE LOS N-PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA - (VÍDEO)

Ejemplo:
      Calcula la suma de los primeros 5 términos de la progresión aritmética:
      8, 3, -2, -7, ...
              Solución:
      a1 = 8           d = - 5             a5 = ?              n = 5                Sn = ?          
        Primero calculamos el término que ocupa el lugar 5to. Es decir a5 , para esto, utilizamos la fórmula del cálculo del n-ésimo término de una P.A.

      an = a1 + (n – 1 ) d

Reemplazando los datos en la fórmula:
        a= 8 + (5 – 1) (- 5)
        a5 = - 12

Reemplazamos los datos que se tienen en la fórmula:


ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

1) El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16.
   Escribe la progresión.
2) Escribe tres medios aritméticos entre 3 y 23.
3) Interpola tres medios aritméticos entre 8 y -12.
4) El primer término de una progresión aritmética es -1, y el decimoquinto es 27. Calcula la diferencia y la suma de los quince primeros términos.
5) Calcula la suma de los quince primeros múltiplos de 5.
6) Calcula la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.
7) El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.
8) En una progresión aritmética, el sexto término vale 10,5; y la diferencia es 1,5. Calcula el primer término y la suma de los 9 primeros términos.
9) El quinto término de una progresión aritmética es  -7, y la diferencia es -3. Calcula el primer término y la  suma de los 12 primeros términos.
1         10) Calcula la suma de los 16 primeros términos de una progresión aritmética en la que               a= 7  y            a7=16.
1

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA: ENÉSIMO TÉRMINO, INTERPOLACIÓN DE TÉRMINOS Y SUMA DE TÉRMINOS


1) Término general o enésimo de una progresión geométrica: https://youtu.be/wcLKlNR5l-U
2) Interpolación de medios geométricos: https://youtu.be/km6OMAmUc04
3) Suma de términos de una progresión geométrica: https://youtu.be/hUanZjGTfv4


1)     PROGRESIÓN GEOMÉTRICA:
             
        PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
        Una progresión geométrica es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior por un número fijo llamado razón que se representa por r.
      Ejemplo:
1)   3; 6; 12; 24; …
2)   1; 3: 9: 27; 81; …

A)  TÉRMINO GENERAL O ENÉSIMO TÉRMINO DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA - (VÍDEO)

an = a1.r(n – 1)
an: Es el n-ésimo término o término que ocupa el lugar “n”.
        a1: Es el primer término.
        n:  Es el número de términos de la P.G.
        r:   Es la razón.
Ejemplo:
      Calcula el término que ocupa el lugar 7 en la progresión geométrica:
      2; 6; 18; 54;…
Solución:
      a1 = 2             a7 = ?              n = 7               r = 6/2 = 3       r = 3            
Reemplazando en la fórmula:
a7 = 2.(3)7 – 1
a7 = 2.(3)6
a7 = 1 458

B)  INTERPOLACIÓN DE MEDIOS GEOMÉTRICOS - (VÍDEO)

Interpolar n medios geométricos entre otros dos conocidos a y b, consiste en construir una progresión geométrica:


Ejemplo:
Interpolar cuatro medios geométricos entre 128 y 4.
Solución:
r = ?           b = 4           a = 128                 n = 4

       Aplicando la fórmula:
   
      

       
Los términos a interpolar son: a= 64; a= 32; a= 16 y a= 8
Ahora tenemos la progresión geométrica pedida:

128; 64; 32; 16; 8; 4
C) SUMA DE LOS N-PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA - (VÍDEO)
Ejemplo:
      Calcula la suma de los primeros 6 términos de la progresión geométrica:
      3; 6; 12; 24; …
              Solución:
Primero calculamos el término que ocupa el lugar 6to. Es decir a6 , para esto, utilizamos la fórmula del cálculo del n-ésimo término de una P.G.

Reemplazando los datos en la fórmula:
a= 3.(2)6 – 1
a= 96

Reemplazamos los datos que se tienen en la fórmula:
    

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
         
1)  Calcula el término que ocupa el lugar 9 en la P.G. 3; -6; 12; -24; …
2)  El segundo término de una progresión geométrica es 6, y el quinto es 48. Escribe la progresión.
3)  Interpola tres medios geométricos entre 3 y 48.
4)  Calcula la razón para interpolar entre 11 y 5 632, ocho medios geométricos, y después, escribe la progresión.

5)  Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión geométrica: 3; 6; 12; 24; 48;…